Logaritmo

Logaritmos
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Gráfica de Logaritmos
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.

Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.2
  • external image ab062f1f90dd714c2ca552e03e670350.png
(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y sólo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")
  • La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 external image c1ec2fbf43cbf095096daf6e9f8f6685.png.
  • x tiene que ser un número positivo external image 0e26ab15d09fc0a517a9923d1c7d0e68.png.
  • n puede ser cualquier número real external image 51fbd9ebe087675ae8a7bc46adc0d2e6.png.
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Identidades logarítmicas


Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
  • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
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  • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
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  • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
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  • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
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En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
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Cambio de base

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
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en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
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En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como external image 89204e19916518d1de507bd2d42de957.png, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

Elección de la base

Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e; fueron desarrollados por John Napier.
Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.
Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: external image f572adceb8571cddc22fd829c0262561.png luego external image d7f88bf0f1838a859f7e1f140ca39dc1.png.
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base e se usa ln.

Historia

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.
Inicialmente, Napier llamó "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental", que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

Definición analítica


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En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
  1. La derivada de la función external image 4e1b01068c1c1cde81991565717aa092.png es external image a0033b57c2032550e4087b171e59a7d1.png. Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de external image 85c9279d01e408be48156089b9bc6ddb.png es external image 5663a63df9445765ff646d29076d6a62.png (con external image 00b7709d12f173fc2f0c83f1030a58d3.png).
  2. Este cálculo obviamente no es válido cuando external image 7a5733a6148c88e0a87a3929dbea435a.png, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa external image bc4d1d42ec597e6c3143d91426acf150.png es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
  3. Sin embargo, la función external image bc4d1d42ec597e6c3143d91426acf150.png es continua sobre el rango
    (0, + infty),
    (0, + infty),
    lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre external image 5775475add1ab15e6b86611a5b3fa29f.png.
A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:
  • external image 9b427f2b76efd7c3d1f9607ada5597da.png

Propiedades de la función logarítmica

  1. El dominio de la función external image bec14945269b499bee7b53e7e3611c16.png definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
  2. external image 4e2c471153c0e3d89bf0eea4700a0dca.png es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
  3. Tiene límites infinitos en external image 2b1683b13d4e270feb88241d50a7f107.png y en external image 78afc9867f7cce988a63a7ebc8997990.png.
  4. La tangente external image e261ec2b0b523f6b3180ec735dd60fe4.png que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
  5. La tangente external image 9736439baa0d44b526cfa799649ee8e9.png que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: external image 18306c741a43def73891f4661e1f04d5.png.
  6. La derivada de segundo orden es external image f2c740fc35e64a1bf0a2022da7832a34.png, siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( external image 374cd6ecac1c4165b36b78f30349b592.png ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con external image 9736439baa0d44b526cfa799649ee8e9.png y external image e261ec2b0b523f6b3180ec735dd60fe4.png.
  7. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial: external image 60efcccebaf8283c63a48eb6e5207e89.png.

Propiedades generales

  1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre external image e0e68a02658b87b80120b7d5b0925c7d.png (o external image d09e7bb8396dc400c1015d94129e0c15.png) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer external image 419e708d8b06a5d1169fe899e7bc1430.png cuando external image 31c57abf025efa1a4313bf7b112e6c3e.png, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la fórmula de Euler.
  2. El logaritmo de su base es 1. Así external image 4b073c0d04a8bad2bfd382bba315b9f6.png ya que external image 316e479f399e7df5fd579ef0beb6f824.png.
  3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así external image a92a64de57520530e62c295ceffecaa9.png ya que external image f0abc858cfb944c9339f556f56857bf8.png.
  4. Si 0<A<1 entonces external image 353858b3e25e3685626fa01aeb6b01e5.png es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.
  5. Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que external image 58b773280fff5a48e1fbce1fb356ae15.png, external image c505c647581c4b617ff5e786f8777d31.png, external image 280f91f4dcf2dfa580171cc62713d7a8.png, external image 2a6450bd63d093c7613c047d16e3e55a.png, y external image 8b8ef1979a2cf0bd01298fd5d863616b.png etc. Luego external image ee3d39597a46903527a21b0bcd04eaea.png, external image b8ed30a9c40742492d3df5ae229a0d5a.png, external image 63faa5dc82f112a4d66558e106034d28.png, external image 0b3cf12dfbdce3f1438e23cc27eb41d1.png y external image 4e853a8335d49a4ad4ca70ae6e70ef09.png etc.

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
  • Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
  • Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).
  1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que external image 20d6fe8ab9cba0eab4d6c5ff401ccdd3.png y external image 452f2ff53da8af5519593c40041b97b3.png entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
  2. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
  3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
  4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.
Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.